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追寻引力的量子理论
卢昌海 2009/04/19

     一、量子时代的流浪儿
      二十世纪理论物理学家说得最多的话之一也许就是: “广义相对论和量子理论是现代物理学的两大支柱”。两大支柱对于建一间屋子来说可能还太少,但对于物理学却已嫌多,二十世纪物理学家的一个很大的梦想就是把这两大支柱合而为一。
    
      如今二十世纪已经走完,回过头来重新看看这两大支柱,在量子理论这根支柱上已经建起了十分宏伟的殿堂,物理学的绝大多数分支都在这座殿堂中搭起了自己的舞台。物理学中已知的四种基本相互作用有三种在这座殿堂内得到了一定程度的描述。可以说,物理学的万里河山量子理论已经十有其九。今天的物理学正处在一个不折不扣的量子时代。而这个辉煌的量子时代最大的缺憾就在于物理学的另一根支柱——广义相对论——还孤零零地游离在量子理论的殿堂之外。
    
      广义相对论成了量子时代的流浪儿。
    
    
      二、引力为什么要量子化?
    
      广义相对论和量子理论在各自的领域内都经受了无数的实验检验,迄今为止,还没有任何确切的实验观测与这两者之一矛盾。有段时候,人们甚至认为生在这么一个理论超前于实验的时代对于理论物理学家来说是一种不幸。 Einstein 曾经很怀念 Newton 时代,因为那是物理学的幸福童年时代,充满了生机; Einstein 之后也有一些理论物理学家很怀念 Einstein 时代,因为那是物理学的伟大变革时代,充满了挑战。
    
      今天的理论物理学依然充满了挑战,但是与 Newton 和 Einstein 时代理论与实验的 “亲密接触” 相比,今天理论物理的挑战和发展更多地是来自于理论自身的要求,来自于物理学追求统一,追求完美的不懈努力。
    
      量子引力理论就是一个很好的例子。
    
      虽然量子引力理论的主要进展大都是在最近这十几年取得的,但是引力量子化的想法早在 1930 年就已经由 L. Rosenfeld 提出了。从某种意义上讲,在今天大多数的研究中量子理论与其说是一种具体的理论,不如说是一种理论框架,一种对具体的理论——比如描述某种相互作用的场论——进行量子化的理论框架。广义相对论作为一种描述引力相互作用的场论,在量子理论发展早期是除电磁场理论外唯一的基本相互作用场论。把它纳入量子理论的框架因此就成为继量子电动力学后一种很自然的想法。
    
      但是引力量子化的道路却远比电磁场量子化来得艰辛。在经历了几代物理学家的努力却未获得实质性的进展后人们有理由重新审视追寻量子引力的理由。
    
      广义相对论是一个很特殊的相互作用理论,它把引力归结为时空本身的几何性质。从某种意义上讲,广义相对论所描述的是一种 “没有引力的引力”。既然 “没有引力”,是否还有必要进行量子化呢?描述这个世界的物理理论是否有可能只是一个以广义相对论时空为背景的量子理论呢?[注一] 也就是说广义相对论和量子理论是否有可能真的同时作为物理学的基础理论呢?
    
      这些问题之所以被提出,除了量子引力理论本身遭遇的困难外,没有任何量子引力存在的实验证据也是一个重要原因。但是种种迹象表明,即使撇开由两个独立理论所带来的美学上的缺陷,把广义相对论和量子理论作为自然图景的完整描述仍然存在许多难以克服的困难。
    
      问题首先在于广义相对论和量子理论彼此间并不相容。我们知道一个量子系统的波函数由系统的 Schrödinger 方程
    
    HΨ = i∂tΨ
    
      所决定。方程式左边的 H 称为系统的 Hamiltonian (哈密顿量),它是一个算符,包含了对系统有影响的各种外场的作用。这个方程对于波函数 Ψ 是线性的,也就是说如果 Ψ1 和 Ψ2 是方程的解,那么它们的任何线性组合也同样是方程的解。这被称为态迭加原理,在量子理论的现代表述中作为公理出现,是量子理论最基本的原理之一。但是一旦引进引力相互作用,情况就不同了。因为由波函数所描述的系统本身就是引力相互作用的源,而引力相互作用又会反过来影响波函数,这就在系统的演化中引进了非线性耦合,从而破坏了量子理论的态迭加原理。不仅如此,进一步的分析还表明量子理论和广义相对论耦合体系的解是不稳定的。
    
      其次,广义相对论和量子理论在各自 “适用” 的领域中也都面临一些尖锐的问题。比如广义相对论所描述的时空在很多情况下——比如在黑洞的中心或宇宙的初始——存在所谓的 “奇点” (Singularity)。在这些奇点上时空曲率和物质密度都趋于无穷。这些无穷大的出现是理论被推广到其适用范围之外的强烈征兆。无独有偶,量子理论同样被无穷大所困扰,虽然由于所谓重整化方法的使用而暂得偏安一隅。但从理论结构的角度看,这些无穷大的出现预示着今天的量子理论很可能只是某种更基础的理论在低能区的 “有效理论” (Effective Theory)。因此广义相对论和量子理论不可能是物理理论的终结,寻求一个包含广义相对论和量子理论基本特点的更普遍的理论是一种合乎逻辑和经验的努力。
    
    引力世界
    
    
    
      三、黑洞熵的启示
    
      迄今为止对量子引力理论最具体最直接的 “理论证据” 来自于对黑洞热力学的研究。一九七二年,Princeton 大学的研究生 J.D.Bekenstein 受黑洞动力学与经典热力学之间的相似性启发,提出了黑洞熵的概念,并估算出黑洞的熵正比于其视界 (Event Horizon) 面积。稍后,S.W.Hawking 研究了黑洞视界附近的量子过程,结果发现了著名的 Hawking 幅射,即黑洞会向外幅射粒子 (也称为黑洞蒸发),从而表明黑洞是有温度的。由此出发 Hawking 也推导出了 Bekenstein 的黑洞熵公式,并确定了比例系数,这就是所谓的 Bekenstein-Hawking 公式:
    
    S = k (A/Lp2) / 4
    
      式中 k 为 Boltzmann 常数,它是熵的微观单位, A 为黑洞视界面积, Lp 为 Planck 长度,它是由广义相对论和量子理论的基本常数组合成的一个自然长度单位 (大约为 10-35米)。
    
      Hawking 对黑洞幅射的研究使用的正是以广义相对论时空为背景的量子理论,即所谓的半经典理论,但黑洞熵的存在却预示着对这一理论框架的突破。我们知道,从统计物理学的角度讲,熵是体系微观状态数目的体现,因而黑洞熵的存在表明黑洞并不象此前人们认为的那样简单,它含有数量十分惊人的微观状态。这在广义相对论的框架内是完全无法理解的,因为广义相对论有一个著名的 “黑洞无毛发定理” (No-Hair Theorem),它表明黑洞的内部性质由其质量,电荷和角动量三个宏观参数所完全表示 (即使考虑到由 Yang-Mills 场等带来的额外参数,其数量也十分有限),根本就不存在所谓微观状态。这表明黑洞熵的微观起源必须从别的理论中去寻找,这 “别的理论” 必须兼有广义相对论和量子理论的特点 (因为黑洞熵的推导用到了量子理论)。量子引力理论显然正是这样的理论。
    
      在远离实验检验的情况下,黑洞熵目前已经成为量子引力理论研究中的一个很重要的理论判据。一个量子引力理论要想被物理学界所接受,必须跨越的重要 “位垒” 就是推导出与 Bekenstein-Hawking 熵公式相一致的微观状态数。
    
    
      四、引力量子化的早期尝试
    
      引力量子化几乎是量子化方法的练兵场,早期的尝试几乎用遍了所有已知的场量子化方法。最主要的方案有两大类:协变量子化和正则量子化。它们共同发源于一九六七年 B. DeWitt 题为 "Quantum Theory of Gravity" 的系列论文。
    
      协变量子化方法试图保持广义相对论的协变性,基本的做法是把度规张量 gμν 分解为背景部分 gμν 和涨落部份 hμν:
    
    gμν = gμν + hμν
    
      不同的文献对背景部份的选择不尽相同,有的取 Minkowski 背景度规 ημν,有的取量子有效作用量 (quantum effective action) 的解。这种方法和广义相对论领域中传统的弱场展开方法一脉相承,思路是把引力相互作用理解为在一个背景时空中引力子的相互作用。在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为 2 的无质量粒子:引力子。
    
      由于这种分解展开使用的主要是微扰方法,随着七十年代一些涉及理论重整化性质的重要定理被相继证明,人们对这一方向开始有了较系统的了解。只可惜这些结果基本上都是负面的。一九七四年,G. 't Hooft 和 M. Veltman 首先证明了在没有物质场的情况下量子引力在单圈图 (1-loop) 层次上是可重整的,但只要加上一个标量物质场理论立刻变得不可重整。十二年后 M. H. Goroff 和 A. Sagnotti 证明了量子引力在两圈图 (2-loop) 层次上是不可重整的。这一结果基本上结束了早期协变量子引力的生命。又过了十二年,Z. Bern 等人往这一已经冷落的方向又泼了一桶凉水,他们证明——除了 N = 8 的极端情形尚待确定外——量子超引力也是不可重整的,从而连超对称这根最后的救命稻草也被铲除了。[注二]
    
      与协变量子化方法不同,正则量子化方法一开始就引进了时间轴,把四维时空流形分割为三维空间和一维时间 (所谓的 ADM 分解),从而破坏了明显的广义协变性[注三]。时间轴一旦选定,就可以定义系统的 Hamilton 量,并运用有约束场论中普遍使用的 Dirac 正则量子化方法。正则量子引力的一个很重要的结果是所谓的 Wheeler-DeWitt 方程,它是对量子引力波函数的约束条件。由于量子引力波函数描述的是三维空间度规场的分布,也就是空间几何的分布,它有时被称为宇宙波函数, Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理学家视为量子宇宙学的基本方程。
    
      与协变量子化方法一样,早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难,这些困难既有数学上的,比如 Wheeler-DeWitt 方程别说求解,连给出一个数学上比较严格的定义都困难;也有物理上的,比如无法找到合适的可观测量和物理态[注四]。
    
      引力量子化的这些早期尝试所遭遇的困难,特别是不同的量子化方法给出的结果大相径庭这一现象是具有一定启示性的。这些问题的存在反映了一个很基本的事实,那就是许多不同的量子理论可以具有同样的经典极限,因此对一个经典理论量子化的结果是不唯一的,原则上就不存在所谓唯一 “正确” 的量子化方法。其实不仅量子理论,经典理论本身也一样,比如经典 Newton 引力就有许多推广,以 Newton 引力为共同的弱场极限,广义相对论只是其中之一。在一个本质上是量子化的物理世界中,理想的做法应该是从量子理论出发,在量子效应可以忽略的情形下对理论作 “经典化”,而不是相反。从这个意义上讲,量子引力所遇到的困难其中一部份正是来源于我们不得不从经典理论出发,对其进行 “量子化” 这样一个无奈的事实。
    
    
      五、Loop Quantum Gravity
    
      传统的量子引力方案的共同特点是继承了经典广义相对论本身的表述方式,以度规场作为基本场量。一九八六年以来,A. Ashtekar 等物理学家借鉴了几年前 A. Sen 的研究工作,在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式,以自对偶自旋联络 (self-dual spin connection) 作为基本场量 (这组场量通常被称为 Ashtekar 变量),由此为正则量子引力的研究开创了一番新的天地。同年 T. Jacobson 和 L. Smolin 发现 Ashtekar 变量的 Wilson loop 满足 Wheeler-DeWitt 方程。在此基础上 C. Rovelli 和 Smolin 提出把这种 Wilson loop 作为量子引力的基本态,从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案: Loop Quantum Gravity。
    
      Loop Quantum Gravity 完全避免使用度规场,从而也不再引进所谓的背景度规,因此被称为是一种背景无关 (background independent) 的量子引力理论。一些物理学家认为 Loop Quantum Gravity 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的,因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所决定,因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中经典的背景度规不应该有独立的存在,而只能作为量子场的期待值出现。
    
      Loop Quantum Gravity 所采用的新的基本场量绝非只是一种巧妙的变量代换手段。因为从几何上讲,Yang-Mills 场的规范势本身就是纤维丛上的联络场,因此以联络作为引力理论的基本变量体现了将引力场视为规范场的物理思想。不仅如此,自旋联络对于研究引力与物质场 (尤其是旋量场) 的耦合几乎是必不可少的框架,因此以联络作为引力理论的基本变量也为进一步研究这种耦合提供了舞台。 Rovelli 和 Smolin 等人发现在 Loop Quantum Gravity 中由广义协变性——也称为微分同胚不变性 (diffeomophism invariance)——所导致的约束条件与数学上的 “节理论” (knot theory) 有着密切的关联,从而使得约束条件的求解得到强有力的数学工具的支持。 Loop Quantum Gravity 与节理论之间的这种联系看似神秘,其实在概念上并不难理解,微分同胚不变性的存在使得 Wilson loop 中具有实质意义的信息具有拓扑不变性,而节理论正是研究 loop 拓扑不变性的数学理论。
    
      经过十几年的发展,目前 Loop Quantum Gravity 已经具有了一个数学上相当严格的框架。除背景无关性之外,Loop Quantum Gravity 与其它量子引力理论相比还具有一个很重要的优势,那就是它的理论框架是非微扰的。迄今为止在 Loop Quantum Gravity 领域中取得的重要物理结果有两个:一个是在 Planck 尺度上的空间量子化,另一个是对黑洞熵的计算。
    
      空间量子化曾经是许多物理学家的猜测,这不仅是因为量子化这一概念本身的广泛应用开启了人们的想象,而且也是因为一个连续的背景时空看来是量子场论中紫外发散的根源。一九七一年 R. Penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型,其代数形式与自旋所满足的代数关系相似,被称为 spin network。一九九四年 Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中的面积与体积算符的本征值[注五],结果发现这些本征值都是离散的,它们对应的本征态和 Penrose 的 spin network 存在密切的对应关系。以面积算符为例,其本征值为:
    
    A = Lp2 Σl [Jl (Jl + 1)]1/2
    
      式中 Lp 为 Planck 长度,Jl 取半整数,是 spin network 上编号为 l 的边所携带的量子数,求和 Σl 对所有穿过该面积的边进行。这是迄今为止有关 Planck 尺度物理学最具体的理论结果,如果被证实的话,或许也将成为物理学上最优美而意义深远的结果之一。 Loop Quantum Gravity 因此也被称为量子几何 (Quantum Geometry)。对 Loop Quantum Gravity 与物质场 (比如 Yang-Mills 场) 耦合体系的研究显示,具有空间量子化特征的 Loop Quantum Gravity 确实极有可能消除普通场论的紫外发散。
    
      至于黑洞熵的计算,Loop Quantum Gravity 的基本思路是认为黑洞熵所对应的微观态由能够给出同一黑洞视界面积的各种不同的 spin network 位形组成的[注六]。按照这一思路进行的计算最早由 K. Krasnov 和 Rovelli 分别完成,结果除去一个被称为 Immirzi 参数的常数因子外与 Bekenstein-Hawking 公式完全一致[注七]。 因此 Loop Quantum Gravity 与 Bekenstein-Hawking 公式是相容的。至于它为什么无法给出完全的常数因子以及这一不确定性究竟意味着什么,目前仍在讨论之中。
    
    
      六、超弦理论
    
      量子引力的另一种极为流行的方案是超弦理论 (Superstring Theory)。与 Loop Quantum Gravity 相比,超弦理论是一个更雄心勃勃的理论,它的目标是统一自然界所有的相互作用,量子引力只不过是超弦理论的一个部份。超弦理论被许多人称为终极理论 (Theory of Everything——TOE),这一称谓很恰当地反映了热衷于超弦理论的物理学家对它的厚望。
    
      超弦理论的前身是二十世纪六十年代末七十年代初的一种强相互作用唯象理论。与今天超弦理论所具有的宏伟的理论目标及精深而优美的数学框架相比,它在物理学上的这种登场可算是相当低调。弦理论作为强相互作用的唯象理论很快便由于量子色动力学 (QCD) 的兴起而没落了。但是一九七四年 J.Scherk 和 J. H. Schwarz 发现弦理论的激发态中存在自旋为 2 的无质量粒子。由于早在二十世纪三十年代 M. Fierz 和 W. Pauli 就发现自旋为 2 的无质量粒子是量子化的线性广义相对论的基本激发态, J.Scherk 和 J. H. Schwarz 的这一结果立即改变了人们对弦理论的思考角度,弦理论从此渐渐走上了试图统一自然界所有相互作用的漫漫征途。十年之后,还是 J. H. Schwarz——和 M. B. Green 等人一起——研究了超弦理论的反常消除 (anomaly cancellation) 问题,由此发现自洽的超弦理论只存在于十维时空中,而且只有五种形式,即:Type I, Type IIA, Type IIB, SO(32) Heterotic 及 E8 × E8 Heterotic。这就是著名的 “第一次超弦革命” (First Superstring Revolution)。又过了十年,随着各种对偶性及非微扰结果的发现,在微扰论的泥沼中踽踽而行的超弦理论迎来了 “第二次超弦革命” (Second Superstring Revolution),其迅猛发展的势头持续至今。
    
      从量子引力的角度来看,Loop Quantum Gravity 是正则量子化方案的发展,而超弦理论则通常被视为是协变量子化方案的发展。这是由于当年受困于不可重整性,人们曾经对协变量子化方法做过许多推广,比如引进超对称性,引进高阶微商项等,这些推广后来都殊途同归地出现在超弦理论的微扰表述中。因此虽然超弦理论本身的起源与量子引力无关,但它的形式体系在量子引力领域中通常被视为是协变量子化方案的发展。
    
      超弦理论的发展及内容不是本文的主题,而且有许多不错的专著和讲义可供参考,就不赘述了。在这些年超弦理论取得的理论进展中,这里只介绍与量子引力最直接相关的一个,那就是利用 D-brane 对黑洞熵的计算,这是由 A. Strominger 和 G. Vafa 等人在一九九六年完成的,与 Loop Quantum Gravity 对黑洞熵的计算恰好在同一年。超弦理论对黑洞熵的计算利用了所谓的 “强弱对偶性” (strong-weak duality),即在具有一定超对称的情形下,超弦理论中的某些 D-brane 状态数在耦合常数的强弱对偶变换下保持不变。利用这种对称性,处于强耦合下原本难于计算的黑洞熵可以在弱耦合极限下进行计算。在弱耦合极限下与原先黑洞的宏观性质相一致的对应状态被证明是由许多 D-brane 构成,对这些 D-brane 状态进行统计所得到的熵和 Bekenstein-Hawking 公式完全一致——甚至连 Loop Quantum Gravity 无法得到的常数因子也完全一致。这是超弦理论最具体的理论验证之一。美中不足的是,由于上述计算要求一定的超对称性,因此只适用于所谓的极端黑洞 (extremal black hole) 或接近极端条件的黑洞[注八]。对于非极端黑洞,超弦理论虽然可以得到 Bekenstein-Hawking 公式中的正比关系,但与 Loop Quantum Gravity 一样无法给出其中的比例系数。
    
    
      七、结语
    
      以上是七十几年来量子引力理论的发展以及近些年取得的若干主要进展的一个速写。除了 Loop Quantum Gravity 和超弦理论这两个主要的候选理论外还有许多其它理论,限于篇幅本文未做介绍。虽然如我们前面所见,这些理论各自取得了一些重要的进展,但距离构建一个完整量子引力理论的目标仍相当遥远。 Loop Quantum Gravity 的成果主要局限于理论的运动学方面,在动力学方面的研究却一直举步维艰,直到目前人们还不清楚 Loop Quantum Gravity 是否以广义相对论为弱场极限,或者说 Loop Quantum Gravity 对时空的描述在大尺度上是否能过渡为我们熟悉的广义相对论时空。按照定义,一个量子理论只有以广义相对论 (或其它经典引力理论) 为经典极限才能被称为量子引力理论。从这个意义上讲我们不仅不知道 Loop Quantum Gravity 是否是一个 “正确的” 量子引力理论,甚至于连它是不是一个量子引力理论都还不清楚!
    
      超弦理论的情况又如何呢?在弱场下超弦理论包含广义相对论,因此它起码可以算是一个量子引力理论的候选者。超弦理论的微扰展开逐级有限,虽然级数本身不收敛,比起传统的量子理论来还是强了许多,算是大体上解决了传统量子场论中的发散困难。在广义相对论方面,超弦理论可以消除部分奇点问题 (但迄今尚无法解决最著名的黑洞和宇宙学奇点问题)。超弦理论在非微扰方面也取得了许多重要的进展。超弦理论具有非常出色的数学框架,以前当学生时曾经听过 B. Greene 的报告,有一句话印象至深, Greene 说:在超弦领域中,所有看上去正确的东西都是正确的!虽是半开玩笑,但很传神地说出了超弦理论的美与理论物理学家 (以及数学家) 的直觉高度一致这一特点。对于从事理论研究的人来说,这是一种令人心旷神怡的境界。但是从超弦理论精美的数学框架下降到能够与实验接触的能区就象航天飞机重返大气层,充满了挑战。超弦理论之所以被一些物理学家视为终极理论,除了它的理论框架足以包含迄今所有的相互作用外,常常被提到的另一个重要的特点是超弦理论的作用量只有一个自由参数!但是超弦理论引进了两个非常重要却迄今未得到实验支持的概念,那就是十维时空和超对称。为了与观测到的物理世界相一致,超弦理论把十维时空分解为四维时空与一个六维紧致空间的直积,这是一个很大的额外假定。超弦理论在四维时空中的具体物理预言与紧致空间的结构有关,因此除非能够预言紧致空间的具体结构 (仅仅预言其为 Calabi-Yau 流形是远远不够的),描述这种结构的参数就将成为理论隐含的自由参数。超弦理论中的超对称也必须以适当的机制破缺。把所有这些因素都考虑进去之后,超弦理论是否仍满足人们对终极理论的想象和要求,也许只有时间能够告诉我们。
    
      Loop Quantum Gravity 与超弦理论目前还是两个独立的理论,彼此之间唯一明显的相似之处是两者都使用了一维的几何概念作为理论的基础。如果这两个理论都反映了物理世界的某些本质特征,那么这种相似性也许就不是偶然的。未来的研究是否会揭示出这种巧合背后的联系现在还是一个谜。
    
      最后,让我引用 C. Rovelli 在第九届 Marcel Grossmann 会议中的一段评论作为本文的结尾: "The road is not yet at the end, much remains to be understood, and some of the current developments might lead nowhere. But it is difficult to deny, looking at the entire development of the subject, that there has been a linear progress. And the road, no doubts, is fascinating."
    
      二零零三年二月八日写于纽约
    
    
      注释 :
    
      [注一] 这种以广义相对论时空为背景的量子理论常常被称为半经典 (semi-classical) 理论,以区别于完全意义下的量子引力理论。
    
      [注二] 当然,在量子引力这样一个复杂的而微妙的领域中想要完全否证一种方法常常就象想要完全证实一种方法一样不可能。虽然对度规场进行微扰处理的引力量子化早期方案已经不再流行,但还是不断有人在尝试挽救这类方案。比如有人在引力作用量中引进带曲率高级幂次的项,试图降低理论的发散程度,可惜这样的理论要么仍然是不可重整的,要么会破坏么正性 (Unitarity)。目前这方面的努力大都已经汇合在了超弦理论的微扰展开中。
    
      [注三] 在量子化过程中破坏广义协变性并不意味着理论在实质上破坏了广义协变原理,只要最终的理论结果与所选择的时间轴无关,这种破坏就只是表观的。但是不幸的是,在正则量子引力中,选取不同的时间轴会导致不等价的理论。
    
      [注四] 从概念上讲,构造正则量子引力的可观测量和物理态的困难在于这两个概念都是规范不变的,而广义相对论中体系的时间演化本身就包含在规范变换 (广义坐标变换) 中,因此两者都必须不含时间!这在量子引力理论中被称为 “时间问题” (The problem of time)。
    
      [注五] 细心的读者可能会问为什么不考虑长度算符?从技术上讲这是由于 Loop Quantum Gravity 的基本场量选择使得面积和体积算符远比长度算符更容易处理。至于这种难易倒置的现象是否有深层的物理起源目前尚不清楚。
    
      [注六] 更具体地说,按照上文提到的面积算符本征值公式,对于每一个 spin network,黑洞视界面积由穿过视界的所有的边所决定,对于一个给定的视界面积,能够给出这一面积的所有 spin network 的位形就构成了 Loop Quantum Gravity 对黑洞熵统计解释的基础。
    
      [注七] 细致的分析表明 Immirzi 参数也出现在面积算符本征值公式中,这是目前 Loop Quantum Gravity 中一个无法确定的参数,类似于 QCD 中的 θ 参数。
    
      [注八] 所谓极端黑洞指的是黑洞所携带的某些量子数——如电荷——达到理论所允许的最大可能值,在超弦理论中,这些黑洞可以使得理论中的超对称性得到部分地保留。
    
    
      参考文献
    
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